Sécante à une courbe

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) , de courbe représentative `\mathcal{C}_f` .

Soit \(\text{A}(a~;f(a))\) et \(\text{B}(b~;f(b))\) deux point distincts de `\mathcal{C}_f` .

Définition

La droite `(\text{AB})` est appelée sécante à la courbe  `\mathcal{C}_f` .

Propriété

La sécante \((\text{AB})\) a pour coefficient directeur \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot\) ``

Remarques

• Il est important de considérer deux points distincts de la courbe. Si A et B étaient confondus, la sécante ne serait pas définie car il existe une infinité de droites passant par un point donné.
  
• Puisque \(a\neq b\) , le coefficient directeur de la sécante `(\text{AB})` est bien défini. De plus :
  

                                                    \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}\cdot\)

Définition  

Le nombre   \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)   s'appelle le taux d'accroissement de la fonction \(f\) entre \(a\) et \(b\) .

Exemple détaillé

On a placé   deux points A et B d'abscisses respectives \(a=-3\)   et \(b=2\) sur la parabole \(\mathcal{P}\)  

 d'équation  \(y=x^2\) . Cette parabole est la courbe représentative de la fonction carré `f:\mapsto x^2.`

Les points A et B appartenant à la parabole \(\mathcal{P}\) , leurs coordonnées sont \(\text{A}(-3~;f(-3))\) et \(\text{B}(2~;f(2))\) , c'est-à-dire \(\text{A}(-3~;9)\) et \(\text{B}(2~;4)\) .

Calcul du coefficient directeur de la sécante `(\text{AB})`  : \(\dfrac{f(2)-f(-3)}{2-(-3)}=\dfrac{4-9}{5}=-1\) .